“En algún lugar, algo increíble está esperando a ser descubierto”, Carl Sagan
La vida no es lineal; sus bellos caminos, retorcidos y sinuosos, están llenos de encrucijadas; en palabras de Benoît Mandelbrot, “los árboles no son conos, las montañas no son pirámides, las líneas de costa no son rectas, las nubes no son esferas…”. La vida tiene geometría fractal.
Fue el hombre quien necesitó retener la naturaleza en puntos, líneas, planos y superficies, a imagen y semejanza del sol y la luna, la línea del horizonte y los ojos de sus semejantes. Al principio nació la geometría euclídea, a partir de tan sólo cinco axiomas, la herramienta perfecta para medir distancias, áreas y volúmenes; y relegó a un segundo plano las enmarañadas y sinuosas formas de la madre naturaleza.
El proceso de abstracción asignó dimensión cero a un punto; dimensión uno a una recta (en ella, podemos calcular longitudes); dimensión dos a un plano (áreas); y dimensión tres a una superficie (volúmenes). Tardamos siglos en comprender que tal abstracción no era suficiente para entender el mundo, porque el sol no es un punto; ni la línea del horizonte, una recta. Porque la naturaleza se abre camino de forma inescrutable.
Benoît Mandelbrot nació en Varsovia el 20 de noviembre de 1924 en el seno de una familia judía. Su padre se ganaba la vida comprando y vendiendo ropa, mientras que su madre era médica. Su familia emigró a París en 1936 y su tío Szolem, profesor de Matemáticas en el Collège de France, asumió la responsabilidad de su educación. Hasta el comienzo de la Segunda Guerra Mundial, Mandelbrot asistió al Liceo Rolin, y fue entonces cuando su familia se trasladó a una pequeña población en el centro de Francia, y se mantuvo alejado de una educación reglada, teniendo que aprender de forma autodidacta desde la clandestinidad. Años después, Mandelbrot llegó a afirmar que dicha educación no convencional contribuyó a cimentar sus éxitos posteriores. En concreto, Mandelbrot materializó una nueva forma de comprender el Universo que no ignoraba la esencia de los orígenes de la Tierra, de la vida y, ni siquiera, del ser humano.
Su planteamiento surgía de la siguiente situación. Imaginemos que tratamos de medir la costa de Inglaterra con una regla enorme que mide 200 km. En ese caso, la longitud obtenida sería de 2 400 km. Una aproximación demasiado tosca. Si usáramos una regla de 50 km, por ejemplo, el resultado de la medición será de 3 400 km. Lógicamente, ahora seremos capaces de medir recovecos que antes debíamos obviar. Aun así, seguiríamos pasando por alto pequeños cabos y bahías.
El sentido común nos haría pensar que las estimaciones acabarán acercándose al verdadero valor de la longitud costera. Sin embargo, Mandelbrot se sorprendió al comprobar que la medida de la línea costera crece sin límite conforme la escala de medida se hace más pequeña (descendiendo incluso a niveles infinitamente pequeños, si es necesario). Et voilà, ¡una línea de longitud infinita!
Todo surgió después de leer un trabajo de Richardson, un matemático inglés, donde había mostrado cómo diferentes enciclopedias asignaban longitudes distintas a las fronteras de dos mismos países. Si todas medían la misma distancia bajo el mismo sistema métrico, ¿por qué esas diferencias? Lo cierto es que los términos longitud, área o volumen no tienen mucho sentido cuando se aplican a formas de la naturaleza, porque dependerán de la “vara” que se utilice para medir.
Imaginemos ahora una bola hecha con un alambre fino. Vista desde lejos, se reduce a un punto (que tiene dimensión cero); pero, si nos acercamos, veremos desde un objeto extraño de tres dimensiones hasta un cordel enmarañado. Todo depende se según cómo se mire. Es evidente que la distancia a la que observemos los objetos condiciona nuestra percepción dimensional.
Mandelbrot añadió, por tanto, al abanico de dimensiones ya conocidas (0, 1, 2 y 3), todas las dimensiones intermedias
La clave del trabajo de Mandelbrot fue introducir una explicación a aquellas percepciones tan distintas en términos de una nueva “dimensión” que venía a medir la “rugosidad” del objeto. Por ejemplo, si queremos determinar la dimensión de la frontera entre España y Portugal, tomaremos medidas ?(?) usando diferentes “varas” ? y ajustaremos una expresión del tipo ?,?-1−?. donde ? es la “dimensión fractal”. En este caso, a partir de ciertos algoritmos (box counting), obtendremos que la frontera entre España y Portugal tiene una dimensión fractal de 1.14. Lógicamente, un valor entre 1 y 2, puesto que es “algo más” que una recta y no llega a cubrir todo el plano. Mandelbrot añadió, por tanto, al abanico de dimensiones ya conocidas (0, 1, 2 y 3), todas las dimensiones intermedias tales como 0.57, 1.14 ó 2.32, etc. Una explicación más detallada puede consultarse aquí:
La pregunta natural era la siguiente: si con las dimensiones ya conocidas se obtenían puntos, rectas, planos o superficies, ¿a qué daban lugar las dimensiones “intermedias”? Y la respuesta era que aquellos extraños, pero bellos y cotidianos, objetos habían estado recluidos en la galería de los monstruos matemáticos.
Mandelbrot, que trabajaba desde 1958 en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson de IBM en Nueva York, comenzó a usar ordenadores para “desenmascararlos”, y no tardó mucho en reconocer ciertos patrones que podían ser observados en el medio natural.
Por un lado, la naturaleza se repite a sí misma cuando dibuja el paisaje (autosimilaridad), de forma que, por otro lado, dependiendo de la distancia a la que se encuentre el observador, podemos contemplar copias parecidas (invarianza de escala). Por ejemplo, esta fotografía (cuyo autor es Héctor Garrido e inspiró algunas imágenes que aparecen en la película La Isla Mínima) podrían ser la visión de un niño jugando en las marismas de Doñana, o la de un pescador sobre un puente o, incluso, la de un pasajero desde un avión.
Motivado por estas propiedades, Mandelbrot encontró el nombre adecuado para estos curiosos objetos cuando leyó, en un diccionario de latín de su hijo, el adjetivo “fractus” del verbo “frangere” (romper). Los llamó fractales. Estas estructuras a medio camino entre los puntos, las rectas y los planos (etc.) donde mora, en algún sentido, el concepto de infinito, habían sido detectadas anteriormente por matemáticos de la talla de Gaston Julia o Georg Cantor, pero fue Mandelbrot quien estableció un marco teórico adecuado para tratar con ellas.
Actualmente los fractales son objetos muy (re)conocidos y, aunque es claro que comparten numerosas propiedades, no existe una definición unívoca. Existen, de hecho, una gran variedad de tipos. Por una parte, algunos fractales son exactos o puros, puesto que se generan matemáticamente a partir de una figura inicial, una regla e infinitas y sucesivas iteraciones. Por ejemplo, el polvo de Cantor, el copo de nieve de Koch o el triángulo de Sierpinsky.
Por otra parte, y tal y como ya hemos mencionado, la geometría fractal está muy presente en la naturaleza: montañas, ríos, árboles, nubes, plantas… y, en ella, observamos fractales que no son exactos, pero que exhiben, en cierta manera, propiedades de autosimilaridad e invarianza de escala. Incluso en el propio cuerpo humano. Un ejemplo clásico son los vasos sanguíneos que se dividen y ramifican haciéndose cada vez más pequeños. Sorprendentemente, ¡no ocupan más del 5% de nuestro cuerpo. ¿Y para qué sirven en este caso los fractales? Les sugiero que visualicen el siguiente vídeo:
Resulta asombroso comprobar cómo las matemáticas tardaron tantos años en mirar a los ojos a estos objetos que reflejan el nacimiento y evolución de nuestro mundo. Es extraordinario cómo los fractales son capaces de darle sentido al CAOS. Y es maravilloso cómo pueden dejarnos sin palabras ante su hermosa, inexplicable y equilibrada perfección.
Arte fractal creado por mailart-org, bobrobon, aexion, digitalpainters:
Benoît Mandelbrot, el domador de los monstruos, murió el 14 de octubre de 2010, pero nos dejó cara a cara con la “razonable” belleza de la vida misma.
Vaya por delante mi agradecimiento a la web elasterisco.es y, en particular, a Carlos Martínez Gorriarán por invitarme a colaborar y ayudarme a difundir mi labor divulgativa.
Este texto está basado en el hilo sobre los fractales publicado en Twitter el 3 de octubre de 2018 desde mi cuenta.
